Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上，離心率為

2

2

，且橢圓經過圓C：x²+y²-8x+2y-28=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過橢圓的左焦點且與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出圓心，設出橢圓方程，代入橢圓方程，再由離心率公式，解方程即可得到橢圓方程；
（2）設出直線的方程為y=k（x+3），由直線和圓相切的條件：d=r，解方程，求得k，即可得到所求直線方程．

解答： 解：（1）∵圓C方程化為：（x-4）²+（y+1）²=45，
故圓心為C（4，-1），
設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則

16 a2 + 1 b2 =1 c a = 2 2

解得，

a2=18 b2=9

，
∴所求的橢圓的方程是：

x2

18

+

y2

9

=1；
（2）∵由（1）可知橢圓的左焦點是（-3，0），
∴可設直線l的方程為y=k（x+3），即kx-y+3k=0，
∵直線l與圓C相切，且圓C的半徑為3

5

，
∴

|4k+1+3k|

1+k2

=3

5

   整理得2k²+7k-22=0，
解得k=-

11

2

或k=2，
∴直線l的方程為11x+2y+33=0或2x-y+6=0．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關系，及直線和圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．