Question

雙曲線C的中心在原點，右焦點為，漸近線方程為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點，問：當k為何值時，以AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

解：（Ⅰ）設雙曲線的方程是，則，．
又∵c²=a²+b²，∴b²=1，．
所以雙曲線的方程是3x²-y²=1．
（Ⅱ）①由
得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，得，且 ．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因為以AB為直徑的圓過原點，所以OA⊥OB，
所以 x₁x₂+y₁y₂=0．
又，，
所以 y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=1，
所以 ，解得k=±1．
分析：（Ⅰ）設雙曲線的方程是，則，．由此能求出雙曲線的方程．
（Ⅱ）由，得（3-k²）x²-2kx-2=0，由△＞0，且3-k²≠0，得，且 ．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由以AB為直徑的圓過原點，知 x₁x₂+y₁y₂=0．由此能夠求出k=±1．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要認真審題，注意雙曲線性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．