Question

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析：（2）.

本試題主要考查了立體幾何中線線垂直和二面角的求解運用。
解：(Ⅰ)當嗄時，底面ABCD為正方形，BDAC
又因為BDPABD,面PAC…………………………2分
又PC面PAC
BDPC…………………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線
為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，
則
B(1,0,0)D(0，a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………………4分
設BQ=m，則Q(1,m,0) 
要使PQQD，只要-1+m(a-m)=0
所以1=m(a-m)，……6分
由此可知時，存在點Q使得PQQD
當且僅當m= a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得PQQD
由此可知a=2…………………………8分
設面PDQ的法向量
則解得…………………………10分
取平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為…………………………12分