Question

已知f（x+y）=f（x）f（y）對任意的非負實數x，y都成立，且f（1）=4，則

f(1)

f(0)

+

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2010)

f(2009)

=

8040

．

Answer 1

分析：在f（x+y）=f（x）f（y）中，令y=1可得，f（x+1）=f（x）f（1），進而可得

f(x+1)

f(x)

=

f(x)•f(1)

f(x)

=f(1)=4，
將其代入

f(1)

f(0)

+

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2010)

f(2009)

中，可得答案．

解答：解：根據題意，在f（x+y）=f（x）f（y）中，
令y=1可得，f（x+1）=f（x）f（1），

f(x+1)

f(x)

=

f(x)•f(1)

f(x)

=f(1)=4，
則

f(1)

f(0)

+

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+…+

f(2010)

f(2009)

=2010×4=8040；
故答案為8040．

點評：本題考查抽象函數的運用，解決這類問題一般用特殊值法．