Question

【題目】已知函數，．

（1）若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍；

（2）當時，若對任意的、，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若函數在上的值城為區間，是否存在常數，使得區間的長度為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（注：區間的長度為）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在常數或滿足題意.

【解析】

（1）求出函數的對稱軸，得到函數的單調性，建立關于的不等式組，解出即可；

（2）依題意，函數在上的最大值小于等于函數在上的最小值，此時可以分離變量，也可以直接求解；

（3）通過討論的范圍，結合函數的單調性以及、的值，得到關于的方程，解出即可．

（1）由題意得，函數的對稱軸為，

故函數在區間上為增函數，

函數在區間上存在零點，

，即，解得，故實數的取值范圍為；

（2）依題意，函數在上的最大值小于等于函數在上的最小值，

當時，，

易知，函數在上的最大值為.

法一：當時，函數在上為增函數，

則，符合題意；

當時，函數在上為減函數，

則，解得.

綜上，實數的取值范圍為；

法二：依題意，對任意都成立，

，，則，

當時，則有，顯然成立；

當時，則對任意都成立，

則函數為增函數，故，即.

綜上，實數的取值范圍為；

（3）依題意，解得.

①當時，當時，，，即，，即，

解得；

②當時，當時，，，

，，解得；

③當時，當時，，，

，，解得，不符合，舍去；

綜上，存在常數或滿足題意.