Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a＞0．

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）討論函數f（x）的單調性；

（3）若函數f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證： .

Answer 1

【答案】（1）切線方程：y=x﹣1，（2）見解析，（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）當a=1時，求出f（1），然后得到取得坐標，求出函數的導數，求出切線的斜率，然后求解切線方程；（2）求出函數的導數，通過a的討論，判斷導函數的符號，然后求解函數f（x）的單調性；（3）利用函數的極值點以及函數的單調性，轉化證明即可．

（1）當a=1時，f（1）=0，f′（x）=+2（x﹣1），f′（1）=1，

曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程：y=x﹣1.

（2）∵f（x）=lnx+ax2﹣2ax+a （x>0）

①當△=4a2﹣8a≤0即0＜a≤2時，f′（x）＞0，

∴f（x）的單調遞增區間是（0．+∞）．

②當△=4a2﹣8a＞0時，即a＞2時，令f′（x）=0得 ．

∴f（x）的單調遞增區間是（x2，+∞）和（0，x1），單調遞減區間是（x1，x2）．

（3）證明：∵f（x）在（x2，+∞）單調遞增，且x2＜1，

∴f（x2）＜f（1）=0，不等式右側證畢。′

∵f（x）有兩個極值點x1，x2，∴a＞2．故 ，

令 ，

∴g（x）在（ ）單調遞增． 故

不等式左側證畢．綜上可知： ．