Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，

Sn

n

)在直線y=x+4上，數列{b_n}滿足：bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)且b4=8，前11項和為154
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式
（2）令cn=

3

2(an-2)(2bn+5)

，數列{cn}前n項和為Tn，求使不等式Tn＞

k

75

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出Sn=n2+4n，由此能求出an=2n+3，n∈N*，由b_n+2-2b_n+1+b_n=0，知{b_n}為等差數列，由此求出b_n=3n-4，n∈N^*．
（2）cn=

3

2(an-2)(2bn+5)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法能求出T_n=

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

，由此能求出使不等式Tn＞

k

75

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

解答： 解：（1）由題意，得

Sn

n

=n+4，即Sn=n2+4n，
故當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-（n-1）²-4（n-1）=2n+3，
∵n=1時，a₁=S₁=5，當n=1時，n+4=5，
∴an=2n+3，n∈N*，
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
∴{b_n}為等差數列，
∴

11(b4+b8)

2

=154，
∵b₄=8，∴b₈=20，∴d=

20-8

8-4

=3，
∴b_n=b₄+3（n-4）=3n-4，
即b_n=3n-4，n∈N^*．
（2）cn=

3

2(an-2)(2bn+5)

=

3

2[(2n+3)-2][2•(3n-4)+5]

=

3

2(2n+1)(6n-3)

=

1

2(2n+1)(2n-1)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

4

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

，
∵T_n+1-T_n=

n+1

4n+6

-

n

4n+2

=

1

(4n+6)(2n+1)

＞0，
∴T_n單調遞增，
故（T_n）_min=

1

6

，
令

1

6

＞

k

75

，得k＜12

1

2

，∴k_max=12．
∴使不等式Tn＞

k

75

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值為12．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的最大正整數的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．