Question

已知實數x，y滿足不等式

2x-y≥0 x+y-4≥0 x≤3

，則

2x3+y3

x2y

的取值范圍是（　　）

• A、[2

  2

  ，

  19

  3

  ]
• B、[

  1

  3

  ，2]
• C、[3，

  19

  3

  ]
• D、[3，

  55

  9

  ]

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：計算題,作圖題,導數的綜合應用

分析：由題意作出其平面區域，從而可得

1

3

≤

y

x

≤2，化簡

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，利用換元法及導數求取值范圍．

解答： 解：由題意作出其平面區域，

由圖象可知，

1

3

≤

y

x

≤2，

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，
令

y

x

=u，則

1

3

≤u≤2，
故

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2=u²+2

1

u

，
（u²+2

1

u

）′=2u-2

1

u2

=3

u3-1

u2

；
又∵

1

9

+2×3=6+

1

9

=

55

9

；
2×2+2×

1

2

=5，1+2=3；
故

2x3+y3

x2y

的取值范圍是[3，

55

9

]．
故選D．

點評：本題考查了簡單線性規劃，作圖要細致認真，屬于中檔題．