Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)．
（1）無(wú)論點(diǎn)E在任何位置時(shí)，是否都有BD⊥AE？并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)E為棱PC中點(diǎn)時(shí)，求證：EF∥平面PAD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明PC⊥面ABCD，BD⊥PC，證明BD⊥面PAC，即可證明BD⊥AE．
（2）連接AC，交BD于O，得到O是AC的中點(diǎn)，進(jìn)一步得到EF∥AP，利用線面平行的判定定理可證．

解答： 解：（1）無(wú)論點(diǎn)E在任何位置時(shí)，都有BD⊥AE；
證明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，⇒PC⊥面ABCD…（2分）
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因?yàn)锽D⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，
∴BD⊥AE．
（2）連接AC，交BD于O，因?yàn)榈酌媸钦�方形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又E是PC的中點(diǎn)，所以EF∥AP，
又EF?平面PAD，AP?平面PAD，
所以EF∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線垂直和線面垂直的判定定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是熟練有關(guān)的定理，熟練轉(zhuǎn)化的思想．