Question

【題目】如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任意一點關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若（其中，分別為與軸，軸同方向的單位向量），則點的斜坐標為

（1）若點在斜坐標系中的坐標為，求點到原點的距離.

（2）求以原點為圓心且半徑為的圓在斜坐標系中的方程.

（3）在斜坐標系中，若直線交（2）中的圓于兩點，則當為何值時，的面積取得最大值？并求此最大值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）時，取得最大值.

【解析】

（1）根據斜坐標的定義可知，通過平方運算求得，即為所求距離；（2）設坐標，可知；利用整理可得結果；（3）將與（2）中所求方程聯立，利用韋達定理求得，又的高為，根據三角形面積公式構造出關于的函數，利用函數值域求解方法可求得所求最大值.

（1）由點的斜坐標為得：

，則

即點到原點的距離為

（2）設所求圓上的任意一點的斜坐標為，則

由圓的半徑為得：，即

即所求圓的方程為：

（3）直線是平行于軸的直線

當時，直線與圓有兩個交點，設為：，

聯立與得：

，

的面積

當，即時，的面積取得最大值