Question

用0，1，2，3，4，5這六個數字：
（1）能組成多少個無重復數字的四位偶數？
（2）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的五位數？
（3）能組成多少個無重復數字且比1325大的四位數？（以上各問均用數字作答）

Answer 1

分析：（1）由題意符合要求的四位偶數可分為三類：0在個位，2在個位，4在個位，對每一類分別計數再求它們的和即可得到無重復數字的四位偶數的個數；
（2）符合要求的數可分為兩類：個位數上的數字是0的五位數與個位數字是5的五位數，分類計數再求它們的和；
（3）由題意，符合要求的比1325大的四位數可分為三類，第一類，首位比1大的數，第二類首位是1，第二位比三大的數，第三類是前兩位是13，第三位比2大的數，分類計數再求和．

解答：解：（1）符合要求的四位偶數可分為三類：
第一類：0在個位時有A₅³個；
第二類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個（有A₄¹種），十位和百位從余下的數字中選（有A₄²種），于是有

A

1 4

?

A

2 4

個；
第三類：4在個位時，與第二類同理，也有

A

1 4

?

A

2 4

個．
由分類加法計數原理知，共有四位偶數：

A

3 5

+

A

1 4

?

A

2 4

+

A

1 4

?

A

2 4

=156個．--------------（4分）
（2）符合要求的數可分為兩類：個位數上的數字是0的五位數有A₅⁴個；個位數上的數字是5的五位數有

A

1 4

?

A

3 4

個．故滿足條件的五位數的個數共有

A

4 5

+

A

1 4

?

A

3 4

=216個．------------（8分）
（3）符合要求的比1325大的四位數可分為三類：
第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共

A

1 4

?

A

3 5

個；
第二類：形如14□□，15□□，共有

A

1 2

?

A

2 4

個；
第三類：形如134□，135□，共有

A

1 2

?

A

1 3

個；
由分類加法計數原理知，無重復數字且比1325大的四位數共有：

A

1 4

?

A

3 5

+

A

1 2

?

A

2 4

+

A

1 2

?

A

1 3

=270個．---（12分）

點評：本題考查分類計數及簡單計數問題，解題的關鍵是理解所研究的事件，對計數問題分類計數，本題考查了分類討論的思想，以及運用排列組合數公式進行計算的能力，本題是計數問題中運算量較大的題，要注意準確運用分類原理與分步原理計數