Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求得，，結(jié)合和的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而作出證明；

（2）先求得是的一個(gè)零點(diǎn)，由，，

分類(lèi)、和三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解.

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

可得，

當(dāng)時(shí)，可得，所以，

所以在單調(diào)遞減，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以，

所以在單調(diào)遞增，所以，

所以在單調(diào)遞增，，

綜上可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

（2）當(dāng)時(shí)，，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，

由，，

（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，，

所以當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)，，在（單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，

，

所以在上存在唯一，使得，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

有，所以在無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，

又，

設(shè)（），，，

所以在遞增，有，

所以在遞增，有，即，

因此，在有1個(gè)零點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).

（iii）當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，

所以，在單調(diào)遞增，，

所以在無(wú)零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，，有，

所以在無(wú)零點(diǎn)

③當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，

又，，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，

又，，所以在有1個(gè)零點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).