Question

【題目】已知函數是有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數．

（1）如果函數的值域為，求b的值；

（2）研究函數（常數）在定義域內的單調性，并說明理由；

（3）對函數和（常數）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數（n是正整數）在區間上的最大值和最小值．（可利用你的研究結論）

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案不唯一，詳見解析；理由見解析；（3）單調性見解析，最大值；最小值．

【解析】

（1）根據已知函數的性質，即可求出最小值且為6，建立的方程，求解即可；

（2）函數為偶函數，先研究在的單調性，根據單調性的定義可得出結論，再利用偶函數的對稱性，得出在的單調性；

（3）把函數推廣為（常數），其中n是正整數，結合對勾函數單調性，得出函數在上的單調區間，再對的奇偶數，函數的奇偶性的分類討論，利用對稱關系，得到上的單調區間.將用二項展開式定理展開，按兩項積為定值分組，利用單調性，即可求出最值.

（1）函數的最小值是，

則，∴．

（2）設，

．

當時，，函數在上是增函數；

當時，，函數在上是減函數．

又是偶函數，于是，該函數在上是減函數，

在上是增函數．

（3）可以把函數推廣為（常數），其中n是正整數．

當n是奇數時，，函數為奇函數，

在上是減函數，在上是增函數；

在上是增函數，在上是減函數．

當n是偶數時，函數是偶函數，

在上是減函數，在上是增函數；

在上是減函數，在上是增函數．

．

因此，在上是減函數，在上是增函數．

所以，當或時，取得最大值；

當時，取得最小值．