Question

【題目】如圖，在邊長為8的菱形中，，將沿折起，使點到達的位置，且二面角為.

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）若點為中點，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接AC，交BD于點O，連接OA1，證明BD⊥A1C即可求解；（2）由（1）可知，∠A1OC即為二面角A1-BD-C的平面角，得∠A1OC＝60°．以O為坐標原點，，為x，y軸正方向，建立空間直角坐標系O-xyz，求平面的法向量，再由線面角的向量公式求解即可

（1）連接AC，交BD于點O，連接OA1，

因為四邊形ABCD為菱形，

所以AC⊥BD，

從而OA1⊥BD，OC⊥BD，

又因為OA1∩OC＝O，

所以BD⊥平面A1OC，

因為A1C平面A1OC，

所以BD⊥A1C，

所以異面直線A1C與BD所成角的大小為90°．

（2）由（1）可知，∠A1OC即為二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．

以O為坐標原點，，為x，y軸正方向，建立空間直角坐標系O-xyz，則

B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．

所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．

設平面A1DC的法向量為＝(x，y，z)，

則即

取x＝3，則＝(3，－，－1)，設直線BE與平面A1DC所成角為

sin＝，

所以直線BE與平面A1DC所成角的正弦值為．