Question

設F₁，F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點；
①若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁，F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；
②設K是①中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：對第①問，由題干條件及橢圓定義，得a，將點A的坐標代入橢圓方程中，得b²，從而得橢圓的方程；
對第②問，設動點K（x₀，y₀），設F₁K的中點為M（x，y），用x，y分別表示x₀，y₀，再將坐標（x₀，y₀）代入橢圓方程中，即得動點M的軌跡方程．

解答： 解：①由橢圓的定義知，|AF₁|+|AF₂|=2a，即4=2a，得a²=4，
從而橢圓C的方程可寫成

x2

4

+

y2

b2

=1．
將A的坐標(1，

3

2

)代入上式中，得

12

4

+

( 3 2 )2

b2

=1，得b²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
②由①知，F₁的坐標為（-1，0），設動點K（x₀，y₀），線段F₁K的中點為M（x，y），如右圖所示．
則由中點公式，有

x= -1+x0 2 y= 0+y0 2

，變形為

x0=2x+1 y0=2y

，
將上式代入

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1中，得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1，
即得線段F₁K中點的軌跡方程為(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1．

點評：本題考查了橢圓的方程，橢圓的定義，軌跡方程的求法，利用相關點法求軌跡方程的一般步驟是：
（1）設軌跡上的點為M（x，y），其他點（即相關點）設為（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂）等；
（2）尋找x，y與相關點的關系，用x，y表示相關點；
（3）將相關點的坐標代入曲線方程中，化簡，整理，即得動點M的軌跡方程．