Question

設M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…t-1，t∈N^*），并記M（li_t-1i_t-2…i₁i₀）₂．對于給定的x₁=（li_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，構造無窮數列{x_h}如下：x₂=（li₀i_t-1i_t-2…i₂i₁）₂，x₃=（li₁i₀i_t-1…i₃i₂）₂，x₄=（li₂i₁i_t-1…i₃）₂
（1）若x₁=27，則x₄=

 

 （用數字作答）；
（2）給定一個正整數m，若x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^m+1，則滿足x_n=x₁（n∈N^*），且n≠1）的n的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：新定義,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）先將x₁=27分成2⁴+2³+2¹+1從而得到1i_t-1i_t-2…i₁i的值，然后根據x₄=（li₂i₁i_t-1…i₃）₂進行求解即可；
（2）根據x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1則x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂，從而x₂=（1ii_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁ii_2m+1i_2m…i₂）₂，依此類推x_2m+3=x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂，從而得到結論．

解答： 解：（1）∵x₁=27=2⁴+2³+2¹+1，
∴x₁=2⁴+1×2³+0×2²+1×2+1，這里i₀=1，i₁=1，i₂=0，i₃=1；
∴x₄=（1i₂i₁i₀i_t-1i_t-2…i₄i₃）₂=2^t+i₂×2^t-1+i₁×2^t-2+i_t-1×2^t-3+…+i₄×2+i₃=2⁴+0×2³+1×2²+1×2+1=23；
（2）∵x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1，
∴x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂而x₂=（1ii_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁ii_2m+1i_2m…i₂）₂，
當i跑到最后時移動了2m+2次，此時x_2m+3=x₁，
滿足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值為2m+3，
故答案為：23；2m+3．

點評：本題考查了數列的綜合運用，著重考查二進制的知識應用，解題時，關鍵是弄清題意，根據新的定義求解，結合所學的知識，細心作答，屬于難題．