Question

【題目】（本小題滿分14分）

已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)當a＝時，求函數f(x)的最小值；

(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝ .（2）實數a的取值范圍是(－3，＋∞).

【解析】試題分析：（1）先判斷函數f(x)的單調性，利用單調性求函數的最值；（2）f(x)＝在區間[1，＋∞)恒成立等價于在區間[1，＋∞)恒成立，即 在區間[1，＋∞)恒成立，令φ(x)＝－(x2＋2x)并求其在[1，＋∞)上的最大值即可．

試題解析：

(1)當a＝ 時，f(x)＝x＋ ＋2，任取1≤x1＜x2，

則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝ ，

∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.

又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數，

∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝ .

(2)在區間[1，＋∞)上，f(x)＝恒成立，

則 等價于a大于函數φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．

只需求函數φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．

φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上遞減，

∴當x＝1時，φ(x)最大值為φ(1)＝－3.

∴a＞－3，故實數a的取值范圍是(－3，＋∞).