Question

已知C為線段AB的中點，P為直線AB外一點，滿足|

PA

|=|

PB

|=3，|

PA

-

PB

|=4，

PI

=λ

IC

BI

=m（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

）+

BA

，m＞0，則λ=

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：根據向量的正交分解，

AI

沿

AP

和

AC

方向分解，設得到兩個向量為

AD

和

AE

，得到四邊形ADIE為棱形，由棱形的性質及根據角平分線定理即可求出

解答： 解：將

AI

沿

AP

和

AC

方向分解，設得到兩個向量為

AD

和

AE

，
∴

AD

=m單位向量，

AE

=m單位向量，
∵單位向量的模長為1，
∴|

AD

|=|

AE

|=1，
∴四邊形ADIE為棱形，
∴AI平分∠PAC，
∴|

PA

-

PB

|=|

BA

|=4，
∴AC=2，
根據角平分線定理，得

AP

AC

=

PI

IC

=

3

2

，
∴λ=

2

3

，
故答案為：

2

3

．

點評：本題考查了向量的正交分解，以及有關四邊形和角平分線的性質，屬于中檔題