Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，點P是線段BC上的動點，則（

PB

+

PD

）•

PC

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：建立平面直角坐標系A-xy，設P（2，x），則

PB

=（0，-x），x∈[0，2]，

PD

=（-2，2-x），

PC

=（0，2-x），利用x 表示（

PB

+

PD

）•

PC

的函數求最值．

解答： 解：建立平面直角坐標系A-xy，設P（2，x），
則

PB

=（0，-x），x∈[0，2]，

PD

=（-2，2-x），

PC

=（0，2-x），
所以（

PB

+

PD

）•

PC

=2x²-6x+4=2（x-1.5）²+4-4.5，
因為x∈[0，2]，
所以x=1.5時，（

PB

+

PD

）•

PC

的最小值為-0.5即-

1

2

；
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查了向量的數量積以及二次函數閉區間的最值，關鍵是建立坐標系，將問題轉化為二次函數的最值求法．