Question

【題目】經市場調查，某商品每噸的價格為x（2＜x＜14）元時，該商品的月供給量為y1噸，y1=ax﹣16（a≥8）；月需求量為y2噸 ．當該商品的需求量不小于供給量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量小于供給量時，銷售量等于需求量．該商品的月銷售額f（x）等于月銷售量與價格的乘積．

（1）若a=32，問商品的價格為多少元時，該商品的月銷售額f（x）最大？

（2）記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格．若該商品的均衡價格不低于每噸10元，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） .

【解析】試題分析：（1）求出函數的解析式，通過討論x的范圍以及函數的單調性求出函數的最大值即可；

（2）根據函數的單調性單調關于a的不等式組，解出即可．

試題解析：

（1）若a=32，由y2≥y1，得﹣x2﹣2x+224≥32x﹣16． 解得﹣40≤x≤6

因為2＜x＜14，所以2＜x≤6．設該商品的月銷售額為f（x），

則

①當2＜x≤6時，f（x）=（32x﹣16）x，

所以f（x）max=f（6）=1056（元）．

②當6＜x＜14時，f（x）=（﹣x2﹣2x+224）x，

則f'（x）=﹣3x2﹣4x+224=﹣（x﹣8）（3x+28），

由f'（x）＞0，得x＜8，由f′（x）＜0，解得：x＞8，

所以f（x）在（6，8）上是增函數，在（8，14）上是減函數，

當x=8時，f（x）max=f（8）=1152（元）．　

因為1152＞1056，所以f（x）max=f（8）=1152元．

（2）設，

因為a≥8，所以g（x）在區間（2，14）上是增函數，

若該商品的均衡價格不低于10元，

即函數f（x）在區間[10，14）上有零點，

所以解得．

又因為a≥8，所以8≤a≤12．