Question

（2012•虹口區(qū)三模）已知數列{a_n}滿足a₁=2，an+1=2(1+

1

n

)2an．
（1）令bn=

an

n2

，求數列{b_n}和{a_n}的通項公式；
（2）設cn=(An2+Bn+C)•2n，試推斷是否存在常數A，B，C，使對一切n∈N^*都有a_n=c_n+1-c_n成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，說明理由；
（3）對（2）中數列{c_n}，設dn=

an

cn

，求{d_n}的最小項的值．

Answer 1

分析：（1）由條件，可得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，從而可得{b_n}是公比為2的等比數列，由此可求數列{b_n}和{a_n}的通項公式；
（2）根據cn=(An2+Bn+C)•2n，作差，根據a_n=c_n+1-c_n恒成立，可得An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，由此可求A，B，C的值；                          
（3）由dn=

n2

n2-4n+6

=

1

6 n2 - 4 n +1

，令t=

1

n

∈(0，1]，利用配方法，即可求得結論．

解答：解：（1）由已知得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，∴{b_n}是公比為2的等比數列，
∵b₁=2，∴bn=2•2n-1=2n
由bn=

an

n2

=2•2n-1=2n，得an=2n•n2
（2）∵cn=(An2+Bn+C)•2n，
∴cn+1-cn=[A(n+1)2+B(n+1)+C]•2n+1-(An2+Bn+C)•2n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ
若a_n=c_n+1-c_n恒成立，則An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，
∴

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，∴A=1，B=-4，C=6
故存在常數A=1，B=-4，C=6滿足條件                              
（3）dn=

n2

n2-4n+6

=

1

6 n2 - 4 n +1

，令t=

1

n

∈(0，1]
則

6

n2

-

4

n

+1=6t2-4t+1=6(t-

1

3

)2+

1

3

∵t∈（0，1]，∴t=1時，

6

n2

-

4

n

+1=6t2-4t+1的最大值為3
∴{d_n}的最小項的值為

1

3

點評：本題考查等比數列的證明，考查恒等式，考查求函數的最值，正確利用數列通項是關鍵．