Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）若時，不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間為；單調遞減區間為.（2）

【解析】

試題分析：（1）當求導，可得的單調區間；（2）首先，要保證由意義，可得；由題意得，不等式對于任意的恒成立，構造新函數，，求導研究函數的性質，分情況討論當時，不滿足題意；當時，要使時，不等式成立，需，即，此時要證，繼續構造函數，求導可證得在上單調遞增，． 即，問題解決.

試題解析：（1）當.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

綜上，的單調遞增區間為；單調遞減區間為.

(2) 由題意得，時，恒成立，可得.……①

由題意得，不等式對于任意的恒成立.

設，..

當時，，不滿足題意；

當時，要使時，不等式成立，

須，即；

當時，，

設，．

顯然在上單調遞增，所以．

所以在上單調遞增，．

即. ……②

由①②可知時，滿足題意．