Question

【題目】調查表明，市民對城市的居住滿意度與該城市環境質量、城市建設、物價與收入的滿意度有極強的相關性，現將這三項的滿意度指標分別記為x、y、z，并對它們進行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標ω=x+y+z的值評定居民對城市的居住滿意度等級：若ω≥4，則居住滿意度為一級；若2≤ω≤3，則居住滿意度為二級；若0≤ω≤1，則居住滿意度為三級，為了解某城市居民對該城市的居住滿意度，研究人員從此城市居民中隨機抽取10人進行調查，得到如下結果：

人員編號	1	2	3	4	5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）	（1，2，1）
人員編號	6	7	8	9	10
（x，y，z）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，0，0）	（1，1，1）

（1）在這10名被調查者中任取兩人，求這兩人的居住滿意度指標z相同的概率；
（2）從居住滿意度為一級的被調查者中隨機抽取一人，其綜合指標為m，從居住滿意度不是一級的被調查者中任取一人，其綜合指標為n，記隨機變量ξ=m﹣n，求隨機變量ξ的分布列及其數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：記事件A為“從10被調查者中任取兩人，這兩人的居住滿意度指標z相同”，

則居住滿意指標z為0的只有編號為9的一位，

居住滿意指標z為1的有編號為2，4，5，7，10，共五位，

居住滿意指標z為2的有編號為1，3，6，8，共四位，

從10被調查者中任取兩人，基本事件總數n= =10，

這兩人的居住滿意度指標z相同的結果為 =16，

∴這兩人的居住滿意度指標z相同的概率p= ．

（2）解：計算10名被調查者的綜合指標，可列下表：

人員編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
綜合指標	4	4	6	2	4	5	3	5	1	3

其中居住滿意度為一級的有編號為1，2，3，5，6，8共六位，則m的可能取值為4，5，6，

居住滿意度不是一級的有編號為4，7，9，10共四位，則n的可能取值為1，2，3，

∴ξ=m﹣n的可能取值為1，2，3，4，5，

P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

P（ξ=3）= = ，

P（ξ=4）= = ，

P（ξ=5）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	p>3	4	5
P

Eξ= =

【解析】（1）記事件A為“從10被調查者中任取兩人，這兩人的居住滿意度指標z相同”，從10被調查者中任取兩人，先求出基本事件總數，再求出這兩人的居住滿意度指標z相同的結果，由此能求出這兩人的居住滿意度指標z相同的概率．（2）由題意ξ=m﹣n的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．