Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°，BC=1，E為CD的中點，PC與平面ABCD成60°角．
（1）求證：平面EPB⊥平面PBA；
（2）求二面角P-BD-A 的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BE，所以BE⊥面PAB，由此能夠證明面PBE⊥面PAB；
（2）連AC，BD交于O，則∠POA為二面角P-BD-A的平面角，從而可得結論．

解答：（1）證明：∵E為CD的中點，BC=1，ABCD為菱形，∴CE=

1

2

，
又∠BCD=60°，
∴∠BEC=90°，∴BE⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE，
∵PA?面PAB，AB?面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥面PAB，
∵BE?面PBE，
∴面PBE⊥面PAB．   
（2）解：連AC，BD交于O，則AO⊥BD
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD
∴∠POA為二面角P-BD-A的平面角，
∵PC與平面ABCD成60°角，
∴∠POA=60°
∵∠BCD=60°，BC=1，
∴AC=2

3

，AD=

3

∴PA=6，PO=

39

∴cos∠POA=

3

39

=

13

13

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面垂直，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．