Question

隨著我國加入WTO，某企業決定從甲、乙兩種產品中選擇一種投資生產，打入國際市場，已知投資生產這兩種產品的有關數據如表：（單位：萬元）

	年固定成品	每件產品成本	每件產品銷售價	每件可最多生產件數
甲產品	20	a	10	200
乙產品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產的件數無關，a為常數，且3≤a≤8．另外，年銷售x件乙產品時需上交0.05x²萬美元的特別關稅．
（Ⅰ）寫出該廠分別投資生產甲、乙兩產品的年利潤y₁，y₂與生產相應產品的件數x（x∈N）之間的函數關系；
（Ⅱ）分別求出投資生產這兩種產品的最大年利潤；
（Ⅲ）如何決定投資可獲最大年利潤．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用

分析：（I）由年銷售量為x件，按利潤的計算公式，y₁=10×x-（20+ax）=（10-a）x-20，0≤x≤200且x∈N，y₂=18×x-（40+8x）-0.05x²，0≤x≤120，x∈N；化簡；
（II）由函數的單調性及二次函數的性質求函數的最大值；
（III）問題即研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較即可．

解答： 解：（I）由年銷售量為x件，按利潤的計算公式，
有生產甲、乙兩產品的年利潤y₁，y₂分別為：
y₁=10×x-（20+ax）=（10-a）x-20，0≤x≤200且x∈N．
y₂=18×x-（40+8x）-0.05x²=-0.05x²+10x-40
=-0.05（x-100）²+460，0≤x≤120，x∈N．
（II）∵3≤a≤8，∴10-a＞0，
∴y₁=（10-a）x-20為增函數，
又∵0≤x≤200，x∈N，
∴x=200時，生產甲產品的最大年利潤為（10-a）×200-20=1980-200a（萬美元）．
又y₂=-0.05（x-100）²+460，且0≤x≤120，x∈N．
∴x=100時，生產乙產品的最大年利潤為460（萬美元）．
（III）（y₁）_max-（y₂）_max=（1980-200a）-460=1520-200a

＞0，3≤a＜7.6 =0，a=7.6 ＜0，7.6＜a≤8

所以：當3≤a＜7.6時，投資生產甲產品200件可獲最大年利潤．
當a=7.6時，生產甲產品與生產乙產品均可獲得最大年利潤；
當7.6＜a≤8時，投資生產乙產品100件可獲最大年利潤．

點評：本題考查了分段函數在實際問題中的應用，屬于中檔題．