Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

+1．
（1）若a=-

e

時，求f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若f（x）＜x²+1在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）函數f（x）=lnx-

a

x

+1的定義域為（0，+∞），求導得f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

；從而由導數確定函數的單調性，從而求最值；
（2）化簡f（x）＜x²+1為lnx-

a

x

＜x²；從而得到a＞xlnx-x³；令g（x）=xlnx-x³，g′（x）=1+lnx-3x²，從而由導數的正負確定函數的單調性，轉化為最值問題．

解答： 解：（1）函數f（x）=lnx-

a

x

+1的定義域為（0，+∞），
且f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

；
∵-e＜a＜-1，
令f′（x）=0得，x=-a；
當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，f（x）在（1，-a）上為減函數，
∴當-a＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）在（-a，e）上為增函數；
f_min（x）=f（-a）=

5

2

；
（2）f（x）＜x²+1，
故lnx-

a

x

＜x²；
又∵x＞0，∴a＞xlnx-x³；
令g（x）=xlnx-x³，g′（x）=1+lnx-3x²，
g″（x）=

1-6x2

x

，
∵g′（x）=1+lnx-3x²在[1，+∞）上是減函數，
∴g′（x）＜g′（1）=-2；
即g′（x）＜0；
∴g（x）在[1，+∞）上也是減函數，
∴g（x）＜g（1）=-1；
令a≥-1得a＞g（x），
∴當f（x）＜x²在（1，+∞）恒成立時，
a≥-1．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．