Question

是否存在同時滿足以下條件的復數z₁，z₂；
（1）

z1- . z1

z2- . z2

=0；（2）

2

z2+6

=

.

z2

+6；（3）z₁z₂²+z₂+2=0，如果不存在說明理由；如果存在，請求出z₁和z₂．

Answer 1

考點：復數代數形式的乘除運算

專題：數系的擴充和復數

分析：由（1）可得z₁ 是實數，z₂不是實數，可設z₁=a，且a∈R，z₂=c+di，c、d∈R，d≠0．由（2），可得 c²+d²+12c=-34．由（3）可得 ac²-ad²+c+2=0，且2cd+d=0．解方程組可得d無解，可得不存在同時滿足條件的復數z₁，z₂．

解答： 解：由（1）

z1- . z1

z2- . z2

=0 可得z₁=

.

z1

，且z₂≠

.

z2

，故z₁ 是實數，z₂不是實數，
故可設z₁=a，且a∈R，z₂=c+di，c、d∈R，d≠0．
由（2）

2

z2+6

=

.

z2

+6，可得|z2|2+6（z₂+

.

z2

）=-34，即 c²+d²+12c=-34．
由（3）z₁z₂²+z₂+2=0，可得a（c²-d²+2cdi ）+c+di+2=0，即 ac²-ad²+c+2+（2cd+d）i=0，
∴ac²-ad²+c+2=0，2cd+d=0．
解得c=-

1

2

，d²=-

113

4

，故d不存在，故不存在同時滿足條件的復數z₁，z₂．

點評：本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法法則的應用，虛數單位i的冪運算性質，屬于基礎題．