Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.

（1）求a；

（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；

（3）設(shè)，求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2）為減函數(shù)，為增函數(shù). （3）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線方程，令得切線的縱截距，可得（必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解）；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性；

（3）不等式變形為，由遞減，得()，即，即，依次放縮，．

不等式，遞增得()，,,,先證，然后同樣放縮得出結(jié)論．

解：（1）對求導(dǎo)，得.

因此.又因?yàn)?/span>，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為

，

即.

由題意，.

顯然，適合上式.

令，

求導(dǎo)得，

因此為增函數(shù)：故是唯一解.

（2）由（1）可知，，

因?yàn)?/span>，

所以為減函數(shù).

因?yàn)?/span>，

所以為增函數(shù).

（3）證明：由，易得.

由（2）可知，在上為減函數(shù).

因此，當(dāng)時(shí)，，即.

令，得，即.

因此，當(dāng)時(shí)，.

所以成立.

下面證明：.

由（2）可知，在上為增函數(shù).

因此，當(dāng)時(shí)，，

即.

因此，

即.

令，得，

即.

當(dāng)時(shí)，

.

因?yàn)?/span>，

所以，所以.

所以，當(dāng)時(shí)，

.

所以，當(dāng)時(shí)，成立.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.