Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn,數列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
（1）求a1的值;
（2）求數列{an}的通項公式.

Answer 1

【答案】
（1）解: 由題意a1=S1=T1,Tn=2Sn-n2,

令n=1得a1=2a1-1,∴a1=1.

（2）解: 由Tn=2Sn-n2①

得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2)②

①-②得Sn=2an-2n+1(n≥2),

驗證n=1時也成立.

∴Sn=2an-2n+1③

則Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2)④

③-④得an=2an-2an-1-2,

即an+2=2(an-1+2),

故數列{an+2}是公比為2的等比數列,首項為3,

所以an+2=3·2n-1,從而an=3·2n-1-2.

【解析】（1）根據T1=S1=a1即可求出a1；（2）根據Sn=得到Sn與an的關系式，再根據an=得到an與an-1的關系式，利用待定系數法構造特殊數列即可求解.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．