Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²．
（1）當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x∈[0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²．f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2）．令f′（x）=0，解得x=0或ln2．列表即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）f′（x）=xe^x-2kx，由于f（x）在x∈[0，+∞）上是增函數(shù)，可得f′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．化簡利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²．
f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2）．
令f′（x）=0，解得x=0或ln2．
列表：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（ln2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，ln2）．
（2）f′（x）=xe^x-2kx，
∵f（x）在x∈[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．
當(dāng)x=0時，f′（x）=0；
當(dāng)x＞0時，xe^x-2kx≥0，化為k≤

ex

2

．
∴k≤

1

2

．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞，

1

2

]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．