Question

如圖（a），已知，拋物線y=-ax²+2ax+m與x軸交于A（-1，0），B兩點，與y軸負半軸交于C點，且OB=OC．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點M在第四象限的拋物線圖象上，且S_△ACM=

5

4

S_△BAM，求M點的坐標．
（3）如圖（b），D為y軸正半軸上一點，連DB，DE⊥DB交拋物線于如圖所示的E點，且DE=2DB，求E點的坐標

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,直線與圓

分析：（1）由二次方程的韋達定理，可得另一根為3，即可得到a，m，進而得到拋物線解析式；
（2）求出直線AC的方程，再由點到直線的距離公式，運用面積公式，得到方程，解得即可；
（3）設E（s，t），過E作EM⊥y軸于M，設D（0，d），（d＞0）．由條件得到三角形OBD和MDE相似，得到對應邊成比例，得到s，t的關系式，再由拋物線方程，即可解得s，t．

解答： 解：（1）-1是方程-ax²+2ax+m=0的一根，則有m=3a，
由兩根之和為2，則另一根為3，即B（3，0），則C（0，-3），
則m=-3，a=-1，
則有拋物線y=x²-2x-3；
（2）直線AC：3x+y+3=0，
設M（m，n），則M到直線AC的距離為d₁=

|3m+n+3|

10

=

3m+n+3

10

，
M到直線AB的距離為d₂=-n，則S_△ACM=

1

2

d₁•|AC|=

5

4

S_△BAM=

5

4

×

1

2

（-n）×4，
化簡整理得，m+2n+1=0，
又點M在第四象限的拋物線圖象上，即有n=m²-2m-3（m＞0，n＜0），
解得，m=

5

2

，n=-

7

4

，即M（

5

2

，-

7

4

）．
（3）設E（s，t），過E作EM⊥y軸于M，設D（0，d），（d＞0）．
則由DE⊥DB，DE=2DB，可得∠BDO=∠DEM，
則有

OB

MD

=

BD

DE

=

OD

ME

，即有

3

t-d

=

1

2

=

d

s

，
則有s=2d，t=6+d，
又E在拋物線上，則有t=s²-2s-3，
則有4d2-5d-9=0，解得，d=

9

4

（-1舍去）．
則有E（

9

2

，

33

4

）．

點評：本題考查二次函數的圖象和性質，考查二次方程的韋達定理，直線方程的形式和點到直線的距離的公式的運用，以及相似三角形的知識，考查運算能力，屬于中檔題．