Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣blnx在點（1，f（1））處的切線為y=1．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）是否存在實數m，當x∈（0，1]時，函數g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值為0，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若0＜x1＜x2 ， 求證： ＜2x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣blnx，得：
，
∵函數f（x）=ax2﹣blnx在點（1，f（1））處的切線為y=1，
∴ ，解得a=1，b=2；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，
∴g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，
∴ ，
①當m≤0時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上單調遞減，
∴g（x）min=g（1）=0．
②當0＜m≤2時， ，
∴g（x）在（0，1]上單調遞減，
∴g（x）min=g（1）=0．
③當m＞2時，g′（x）＜0在 上恒成立，g′（x）＞0在 上恒成立，
∴g（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增．
∴ ，
∴g（x）min≠0．
綜上所述，存在m滿足題意，其范圍為（﹣∞，2]；
（III）證明：由（II）知，m=1時，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上單調遞減，
∴x∈（0，1）時，g（x）＞g（1）=0，
即x﹣1＞2lnx．
∵0＜x1＜x2 ，
∴0＜ ，
∴ ，
∴ ，
∵lnx2＞lnx1 ，
∴
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，由f（1）=1且f′（1）=0聯立求得a，b的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1），求其導函數，然后對m分類分析導函數的符號，得到原函數的單調性，求出最小值．特別當m＞2時，g（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，求出g（x）的最小值小于0．則m的取值范圍可求；（Ⅲ）由（II）知，m=1時，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上單調遞減，得到x﹣1＞2lnx，由0＜x1＜x2得到
0＜ ，代入x﹣1＞2lnx證得答案．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．