Question

【題目】（文科做）已知函數f（x）=x﹣ ﹣（a+2）lnx，其中實數a≥0．
（1）若a=0，求函數f（x）在x∈[1，3]上的最值；
（2）若a＞0，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）= ，

令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		﹣	0	+
f（x）	1	↘	2﹣2ln2	↗	3﹣2ln3

從上表可知，

∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），

函數f（x）在區間[1，3]上的最大值是1，最小值為2﹣2ln2

（2）解： ，

①當a＞2時，x∈（0，2）∪（a，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（2，a）時，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調增區間為（0，2），（a，+∞），單調減區間為（2，a）；

②當a=2時，∵ ，

∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）；

③當0＜a＜2時，x∈（0，a）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（a，2）時，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調增區間為（0，a），（2，+∞），單調減區間為（a，2）；

綜上，當a＞2時，f（x）的單調增區間為（0，2），（a，+∞），單調減區間為（2，a）；

當a=2時，f（x）的單調增區間為（0，+∞）；

當0＜a＜2時，f（x）的單調增區間為（0，a），（2，+∞），單調減區間為（a，2）

【解析】（1）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數在閉區間上的最值即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定導函數的符號，從而求出函數的單調區間即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．