Question

雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF₂是等邊三角形，則雙曲線C的離心率為______．

Answer 1

根據雙曲線的定義，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，解之得c=

7

a，
由此可得雙曲線C的離心率e=

c

a

=

7

故答案為：

7