Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC中，側面是矩形，∠BAC=90°，⊥BC，=AC=2AB=4，且⊥．

(1)求證：平面⊥平面；

(2)設D是的中點，判斷并證明在線段上是否存在點E，使得DE∥平面．若存在，求二面角EB的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】分析：（1）易知⊥平面ABC，有⊥AC，依次可證得⊥，⊥，從而得證；

（2）當E為的中點時，連接AE，，DE，易證得平面EFD∥平面，以 A為坐標原點，AB，AC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求面和面的法向量，由法向量的夾角可求二面角的余弦值.

詳解：(1)在三棱柱ABC中，側面是矩形，∴⊥AB，

又⊥BC，AB∩BC=B，

∴⊥平面ABC，∴⊥AC.

又=AC，∴⊥．

又⊥，∩=，

∴⊥平面 ，

又 平面，∴平面⊥平面．

圖1

(2)解法一　當E為的中點時，連接AE，，DE，如圖1，取的中點F，連接EF，FD，

∵EF∥AB，DF∥，

又EF∩DF=F，AB∩=A，

∴平面EFD∥平面，

則有DE∥平面．

以 A為坐標原點，AB，AC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為=AC=2AB=4，

∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，(0，4，4)，C(0，4，0)，E(2，0，2)，(0，0，4)，由(1)知，=(0，4，4)是平面的一個法向量．

設n=(x，y，z)為平面的法向量，

∵=(0，4，4)，=(2，0，2)，

∴ ，即 ，

令z=1，則x=1，y=1，

∴n=(1，1，1)為平面的一個法向量．

設 與n的夾角為θ，則cos θ== ，由圖知二面角EB為銳角，∴二面角EB的余弦值為 ．

圖2

解法二　當E為的中點時，連接DE，如圖2，設交于點G，連接BG，DG，∵BEDG，∴四邊形DEBG為平行四邊形，

則DE∥BG，又DE平面，BG平面，則DE∥平面．

求二面角EB的余弦值同解法一．