Question

【題目】已知四棱錐中，，，側(cè)面底面．

（Ⅰ）作出平面與平面的交線，并證明平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（1）延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連結(jié)，即為平面與平面的交線，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得側(cè)面，證出，，利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（Ⅰ）延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連結(jié)，

則即為平面與平面的交線．

因?yàn)閭?cè)面平面，且，

所以側(cè)面，

又側(cè)面，所以．

在中，，，

所以分別為的中點(diǎn)

所以，故．

又，所以平面，即平面．

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，以分別為軸、軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，

在直角三角形中，

由（Ⅰ）知分別為的中點(diǎn)，

所以，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，則，故

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，則，故

又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．