Question

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若sinA+cosA=

2

，且b=

2

，B=

π

6

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x-

a

sinx+1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）把已知等式兩邊平方，整理求出sin2A的值，由A為三角形內(nèi)角，求出A的度數(shù)，由sinA，sinB，b的值，利用正弦定理即可求出a的值；
（Ⅱ）由a的值確定出f（x）解析式，設(shè)sinx=t，得到y(tǒng)與t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值與最小值，進(jìn)而確定出f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

解答： 解：（Ⅰ）把sinA+cosA=

2

，兩邊平方得：1+2sinAcosA=2，即sin2A=1，
∵0＜A＜π，∴0＜2A＜2π，
∴2A=

π

2

，即A=

π

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=

bsinA

sinB

=

2 × 2 2

1 2

=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=sin²x-

2

sinx+1，
設(shè)sinx=t，則y=t²-

2

t+1=（t-

2

2

）²+

1

2

，0≤t≤1，
∴當(dāng)t=0，即x=0時(shí)，y_max=1；當(dāng)t=

2

2

，即x=

π

4

時(shí)，y_min=

1

2

，
則f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．