Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，給出下列兩個(gè)命題：
p：若f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），則x₁+x₂=4．
q：若x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂），則

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
則使命題“p且q”為真命題的函數(shù)f（x）可以是

f（x）=-（x-2）²

．

Answer 1

分析：命題“p且q”為真命題，命題p，q均為真命題．p為真命題說(shuō)明函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．q為真命題，可以推出f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞增．可以想到二次函數(shù)．

解答：解：命題“p且q”為真命題，命題p，q均為真命題．
p：若f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），則x₁+x₂=4．說(shuō)明函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
若x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂），

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，說(shuō)明當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞增．
根據(jù)以上性質(zhì)，f（x）可以是，f（x）=-（x-2）²
故答案為：f（x）=-（x-2）²．

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題真假出發(fā)，考查了初等函數(shù)的性質(zhì)．考查轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想．