Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若存在使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化為解分式不等式；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為方程的根的問題；

（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，根據(jù)不等式有解分離參數(shù)求取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

即，，，與同解，

得；

（2）由題意：關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

，

，

在區(qū)間上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

即，解得：，

且，即，

綜上所述：；

（3）由題：，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

最大值和最小值的差不超過1，即

，

所以

即存在使成立，只需即可，

考慮函數(shù)，，令，

，

根據(jù)勾型函數(shù)性質(zhì)在單調(diào)遞減，

所以在單調(diào)遞減，所以，

所以.