Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=2，a_n+1=

1

2

（a_n+

1

an

）．b_n=

an+1

an-1

，則數列{b_n}的通項公式為

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據數列的遞推關系得到b_n+1=b_n²，然后利用歸納推理即可得到結論．

解答： 解：∵b_n=

an+1

an-1

，∴b_n+1=

an+1+1

an+1-1

=

1 2 (an+ 1 an )+1

1 2 (an+ 1 an )-1

=

an2+2an+1

an2-2an+1

=

(an+1)2

(an-1)2

=（

an+1

an-1

）²=b_n²＞0，
∵a₁=2，∴b₁=

a1+1

a1-1

=

2+1

2-1

=3，
則b₂=3²，
b₃=（3²）²=3⁴，
b₄=（3⁴）²=3⁸，
b₅=（3⁸）²=3¹⁶，
…
b_n=3 2n-1，
故答案為：b_n=3 2n-1

點評：本題主要考查數列通項公式的求解，根據條件得到b_n+1=b_n²是解決本題的關鍵．考查學生的推理能力，有一定的難度．