Question

在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，且（b²+c²-a²）sinA=2S_△ABC．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）結合三角形面積公式和已知可解得b²+c²-a²=bc，代入余弦定理可解得A的值．
（2）通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關系求出b+c的范圍．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA，
∴結合已知可得：（b²+c²-a²）sinA=bcsinA．可解得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（2）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則4=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=4，
即3bc=（b+c）²-4≤3[

1

2

（a+b）]²，
化簡得，（b+c）²≤16（當且僅當b=c時取等號），
則b+c≤4，又b+c＞a=2，
綜上得，b+c的取值范圍是（2，4]．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，兩角和的正弦公式，三角形的邊角關系式，以及基本不等式求最值，考查分析問題、解決問題的能力，屬于難題．