Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A﹣BCD，則在三棱錐A﹣BCD中，下列判斷正確的是_____．（寫出所有正確的序號）

①平面ABD⊥平面ABC

②直線BC與平面ABD所成角是45°

③平面ACD⊥平面ABC

④二面角C﹣AB﹣D余弦值為

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①反證法，假設平面平面，容易推出垂直于平面，從而，出矛盾；

②利用幾何法找到其平面角為，求解即可判斷；

③證明平面，從而得到平面平面；

④證明為二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判斷．

在四邊形ABCD中，由已知可得∠DBC＝45°，假設平面ABD⊥平面ABC，

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BDC＝BC，可得BC⊥平面ABD，

有∠DBC＝90°，與∠DBC＝45°矛盾，則假設錯誤，故①錯誤；

在四邊形ABCD中，由已知可得BD⊥DC，

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，則DC⊥平面ABD，

∠DBC為直線BC與平面ABD所成角是45°，故②正確；

由判斷②時可知，DC⊥平面ABD，則DC⊥AB，又BA⊥AD，AD∩DC＝D，則AB⊥平面ADC，

而AB平面ABC，則平面ACD⊥平面ABC，故③正確；

由判斷③時可知，AB⊥平面ADC，則∠DAC為二面角C﹣AB﹣D的平面角，

設AD＝AB＝1，則BD＝DC，由DC⊥AD，得AC，得cos∠DAC，故④正確．

∴判斷正確的是②③④．

故答案為：②③④．