Question

【題目】已知圓O：，直線l：．

若直線l與圓O交于不同的兩點A、B，當為銳角時，求k的取值范圍；

若，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，則直線CD是否過定點？若是，求出定點，并說明理由．

若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形EGFH的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）直線CD恒過定點．詳見解析（3）

【解析】

(1)首先可以設出兩點坐標，然后聯立圓與直線方程并得出的值，最后根據以及即可得出結果；

(2)首先將帶入直線方程得出直線的解析式，然后設出點坐標并寫出以為直徑的圓的方程，最后將其與圓方程聯立即可得出直線的方程并根據直線的方程得出定點坐標；

(3)首先可以設圓心到直線的距離分別為、，然后通過勾股定理即可得出的值，再然后寫出與，通過即可求出四邊形的面積的最大值。

(1)根據題意，設，，

將代入，整理得到：，

則有，解可得：，

而，

為銳角，

又由，

解可得：，

又由，則，

解可得：或；

(2)時，直線l的方程為：，

設，則以為直徑的圓的方程為，

即，將其和圓O：聯立，消去平方項得：，即為直線的方程，

將其化為知該直線恒過定點，

故直線CD恒過定點；

(3)設圓心O到直線EF、GH的距離分別為、，

則，

所以，，

所以，

當且僅當即時，取“”，

所以四邊形EGFH的面積的最大值為。