Question

【題目】設(shè)橢圓，離心率，短軸，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)為，

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，為橢圓是一點(diǎn)，且有，當(dāng)線段的中點(diǎn)在軸上時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） , ;(2)

【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組解得a,b，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)所在位置可設(shè)拋物線方程形式，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）利用斜率設(shè)直線、OB方程，分別與拋物線、橢圓方程聯(lián)立方程組解得A,B橫坐標(biāo)，再根據(jù)A,B橫坐標(biāo)和為0解斜率得A,B坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)式求直線AB 方程.

(1) 由得，又有，代入，解得

所以橢圓方程為

由拋物線的焦點(diǎn)為得，拋物線焦點(diǎn)在軸，且，

拋物線的方程為：

(2)由題意點(diǎn)位于第一象限，可知直線的斜率一定存在且大于

設(shè)直線方程為：，

聯(lián)立方程得：，可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即

因?yàn)?/span>，可設(shè)直線方程為：

連立方程得：，從而得

若線段的中點(diǎn)在軸上，可知，即

有，且，解得

從而得，

直線的方程：