Question

已知點A（-3，0），B（3，0），M是直線l：x-y+9=0上任意一點，在l上存在一點P，使|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，則點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用,點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：法一：設點A關于直線l的對稱點為A′（a，b），則

b a+3 =-1 -3+a 2 - b 2 +9=0

，解得a=-9，b=6．可得直線A′B的方程為x+2y-3=0，與x-y+9聯立解得即可．
法二：設M（x，y），由|MA|+|MB|＞|AB|，可得點M滿足

x2

b+9

+

y2

b

=1，（b＞0）．與直線方程聯立可得（2b+9）x²+18（b+9）x+（b+9）（81-b）=0，
令△=0，解得b，求得切點即可．

解答： 解：法一：設點A關于直線l的對稱點為A′（a，b），則

b a+3 =-1 -3+a 2 - b 2 +9=0

，解得a=-9，b=6．
∴A′（-9，6），
∴直線A′B的方程為：y=

6-0

-9-3

（x-3），即x+2y-3=0，
聯立

x+2y-3=0 x-y+9=0

，解得x=-5，y=4．
∴P（-5，4）．
可得點P滿足：|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，
法二：設M（x，y），∵|MA|+|MB|＞|AB|，可得點M滿足

x2

b+9

+

y2

b

=1，（b＞0）．
聯立

x2 b+9 + y2 b =1 x-y+9=0

，
化為（2b+9）x²+18（b+9）x+（b+9）（81-b）=0，
令△=0，解得b=36，
∴81x²+18×45x+45²=0，
解得x=-5，
代入x-y+9=0，解得y=4．
∴P（-5，4）．
故答案為：（-5，4）．

點評：本題考查了在直線上求得一點到直線同側兩點的距離之和求得最小值問題的兩種方法、對稱問題、直線與橢圓相切問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．