Question

如圖已知：菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，，點分別是線段的中點.

（1）求證：平面平面;
（2）點在直線上，且//平面，求平面與平面所成角的余弦值。

Answer 1

(1)證明詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先證，由面面垂直的性質定理得到平面，所以，由勾股定理證，所以由線面垂直的判定定理得平面，所以面面垂直的判定定理得平面平面；（2）首先建立空間直角坐標系，再寫出各點坐標，由共面向量定理，得，所以求出，得出點的坐標是:，由（1）得平面的法向量是，根據條件得平面的法向量是，所以.
試題解析：（1）證明：在菱形中，因為，所以是等邊三角形，
又是線段的中點，所以，
因為平面平面，所以平面，所以；  2分
在直角梯形中，，，得到：，
從而，所以，        4分
所以平面，又平面，所以平面平面；   6分
（2）由（1）平面，如圖，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則，
   7分
設點的坐標是，則共面，
所以存在實數使得：
，
得到:.即點的坐標是:,    8分
由（1）知道：平面的法向量是，
設平面的法向量是，
則：，         9分
令，則，即，
所以，                  11分
即平面與平面所成角的余弦值是.             12分