Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且an是Sn與2的等差中項，數列{bn}中，b1=1，點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上．
（1）求a1和a2的值；
（2）求數列{an}，{bn}的通項an和bn；
（3）設cn=anbn ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an是Sn與2的等差中項

∴Sn=2an﹣2∴a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2

a1+a2=S2=2a2﹣2，解得a2=4

（2）解：∵Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

又Sn﹣Sn﹣1=an，n≥2

∴an=2an﹣2an﹣1，

∵an≠0，

∴ =2（n≥2），即數列{an}是等比數列，∵a1=2，∴an=2n

∵點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，∴bn﹣bn+1+2=0，

∴bn+1﹣bn=2，即數列{bn}是等差數列，又b1=1，∴bn=2n﹣1

（3）解：∵cn=（2n﹣1）2n

∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，

∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1

因此：﹣Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n﹣1）2n+1，

即：﹣Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）2n+1，

∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）先利用an是Sn與2的等差中項把1代入即可求a1 ， 再把2代入即可求a2的值；（2）利用Sn=2an﹣2，可得Sn﹣1=2an﹣1﹣2，兩式作差即可求數列{an}的相鄰兩項之間的關系，找到規律即可求出通項；對于數列{bn}，直接利用點P（bn ， bn+1）在直線x﹣y+2=0上，代入得數列{bn}是等差數列即可求通項；（3）先把所求結論代入求出數列{cn}的通項，再利用數列求和的錯位相減法即可求出其各項的和．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．