Question

【題目】已知曲線G上的點到點的距離比它到直線的距離小2.

（1）求曲線G的方程.

（2）是否存在過F的直線l，使得l與曲線G相交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為A'，且△A'BF的面積等于4？若存在，求出此時直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；直線l的方程為

【解析】

（1）設S（x，y）為曲線G上任意一點，判斷曲線G是以為焦點，直線為準線的拋物線，求出曲線G的方程.

（2）設直線l的方程為，與拋物線C的方程聯立，消去x，設，通過韋達定理以及三角形的面積，轉化求解m即可.

解：（1）設S（x，y）為曲線G上任意一點，

依題意，點S到的距離與它到直線的距離相等，

所以曲線G是以為焦點，直線為準線的拋物線，

所以曲線G的方程為.

（2）設直線l的方程為，與拋物線C的方程聯立，

得，消去x，得，

設，

則

，

解得，

所以存在直線l使得△A'BF的面積等于4，此時直線l的方程為.