Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實數(shù).

（1）若曲線在點處的切線方程為，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當，，且時，若恒有，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】試題分析：由題意點處的切線方程為，求出的值，繼而求出函數(shù)的單調(diào)性利用單調(diào)性將問題中的絕對值去掉，構(gòu)造新函數(shù)來證明結(jié)論。

解析：（1）函數(shù)的定義域為，

，，可知.

.

當，即時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）函數(shù)

.

令，，

當時，可知，

故恒成立，

可知，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，

不妨設，且，

則變?yōu)?/span>，

即，

設函數(shù)

，

由，得在時為單調(diào)遞減函數(shù)，即，

即，

也即對與恒成立.

因為，可知時，取最大值，

即 .

對時恒成立，

由，可知，

即取值范圍為.