Question

如圖，在矩形OABC中，O為原點，B點坐標為（8，6）．
（1）求∠BOA的余弦值；
（2）若點P、Q分別為線段OA、OB上的動點，且BQ=OP，連接PQ，設OP=x．
①連接CQ，求當△OPQ與△CQB相似時x的值．
②當△OPQ為等腰三角形時，請直接寫出x的值．

Answer 1

考點：相似三角形的性質

專題：立體幾何

分析：（1）由矩形OABC中，O為原點，B點坐標為（8，6），可得OB長，進而根據三角函數的定義，求∠BOA的余弦值；
（2）當△OPQ與△CQB相似時，

BQ

OP

=

BC

OQ

，即

x

x

=

8

10-x

，解方程得x的值．
②當△OPQ為等腰三角形時，不妨令OP=OQ，即x=10-x，解得x的值．

解答： 解：（1）∵矩形OABC中，O為原點，B點坐標為（8，6）．
∴OB=

82+62

=10，
故cos∠BOA=

OA

OB

=

8

10

=

4

5

，
（2）①∵BQ=OP，OP=x，
∴OQ=10-x，
若△OPQ∽△BQC，則

BQ

OP

=

BC

OQ

，
即

x

x

=

8

10-x

，
解得：x=2，
②當OP=OQ，即x=10-x，△OPQ為等腰三角形，則x=5．

點評：本題考查的知識點是相似三角形的性質，三角函數的定義，等腰三角形的定義，難度不大，屬于基礎題．